上海留学生落户的审核部门主要由上海市人力资源和社会保障局（简称“上海市人社局”）负责，具体经办单位是其下属的上海市人才服务中心（原上海市海外人才服务中心）。该中心专门负责海外留学回国人员的落户申请受理、材料审核和后续手续办理。

申请留学生落户上海，需满足国家及上海市的相关政策条件，如在国外正规高校取得硕士及以上学位、在国外学习时间达到一定期限、回国后在本市用人单位依法缴纳社会保险等。符合条件的申请人需通过用人单位向上海市人才服务中心提交申请材料。

整个审核流程一般包括材料预审、正式受理、初审、复审和公示等环节。材料提交后，由上海市人才服务中心进行初审，重点核查学历学位认证、留学时间、回国时间、社保缴纳记录、劳动合同等关键信息。审核过程中，可能会要求补充材料或进行面谈。审核通过后，名单将进行网上公示，公示无异议的，可获得《落户批复函》，随后办理户口迁移和户籍登记手续。

此外，上海市人社局还通过“一网通办”平台提供线上申报服务，申请人可通过“上海人社”官网或“随申办”APP在线提交申请，实现全流程网上办理，提高审批效率。

需要注意的是，政策可能随时间和人才引进需求调整，建议申请前通过上海市人社局官网或上海市人才服务中心官方渠道获取最新政策信息，确保材料准备齐全、符合要求。

总之，上海留学生落户的审核主体是上海市人力资源和社会保障局，具体执行由上海市人才服务中心负责，整个过程公开、规范，旨在吸引优秀海外人才来沪发展。