留学生落户上海的办理机构主要是上海市人力资源和社会保障局（简称“上海市人社局”）及其下属单位上海市人才服务中心。具体业务通常由上海市人才服务中心负责受理和审核。

上海市人才服务中心是专门负责人才引进、落户、档案管理等服务的政府机构。留学生申请落户上海，需通过该中心的“留学回国人员申办上海常住户口”系统进行在线申报，并提交相关材料。申请人一般需先通过用人单位向该中心提出申请，由单位注册并登录系统进行申报。

此外，各区的人才服务中心也承担部分受理工作。例如，用人单位注册地或实际办公地所在的区级人才服务中心可能负责初审或材料接收。因此，留学生在办理落户时，需根据所在单位的注册地，联系相应的区级人才服务中心。

整个落户流程包括：单位资质审核、个人材料准备（如学位证书、留学证明、劳动合同、社保证明等）、网上申报、现场递交材料、审批、公示及户口迁移等环节。审批通过后，申请人可获得《准予迁入证明》，然后回原户籍地办理迁出，最后到上海公安派出所完成落户。

建议申请人在办理前登录“上海市人力资源和社会保障局”官网或“上海一网通办”平台，查询最新政策和办理指南，也可拨打12333人社服务热线咨询。

总之，主要办理机构是上海市人才服务中心，配合各区人才服务中心和公安部门共同完成落户流程。